0.题目

在斜面顶端，以相同大小的速率向四面八方扔小球，什么情况下落在斜面处达到最远呢？我贴个图蛤

1. 笛卡尔分解：分解速度与加速度

先来看一种比较好的思路：
按照平行于斜面和垂直于斜面进行运动分解：
1. 平行于斜面方向是有初速的匀加速运动
2. 垂直于斜面方向是“类竖直上抛”
我贴个图蛤

2. “正交”分解：分解位移

我们不妨提供另外一个思路：位移分解。
注意这里分解的是位移，虽然他是曲线运动，但是他最终的位移是：初始位置指向末位置的向量，也就是下图中的OB矢量。
我们看这个抛体过程的结果，他的总位移是沿着斜坡方向的，而造成这个运动过程的：
1. 一个是因为有重力，使得他会下坠（对应AB）
2. 另外一个是因为有初速度，所以会往外飞（对应OA）
因此，我们由果溯因，得到这两个因素之后，把位移的矢量 OB ，分解成：
1. 沿初速度方向上的位移 OA
2. 沿受力方向上的位移 AB
如图所示

是不是就可以得到一个三角形OAB

强烈建议在草稿纸上画个图，自己动手画一下，标好OAB，最好一致，这样看下面的时候就不用往上翻

在这个三角形里面：

$$ AB = 0.5 g t^2$$

$$ OA = v_0 t $$

$$ OB_{max} = ? $$

$$ \angle AOB = \alpha $$

$$ \angle ABO = \frac{\pi}{2} - \theta $$

$$ \angle BAO = \frac{\pi}{2} + \theta - \alpha $$

为了方便书写，以下的π/2全部写成90。
注意一下，α是OA和OB的夹角，不是OA和水平方向的夹角，之所以这样设是因为构成了三角形，这样设直接就是内角，利用三角关系方便一点，其实都可以。

然后，请问三角形的边和角都能表示出来之后，用什么式子可以表达他们之间的关系？

正弦定理

$$ \frac{OA}{sin(90 - \theta)} = \frac{OB}{sin(90 + \theta - \alpha)} = \frac{AB}{sin \alpha} $$

正弦定理这里分开写可以写三个式子：
①：
$$ \frac{OA}{sin(90 - \theta)} = \frac{OB}{sin(90 + \theta - \alpha)} $$

②：
$$ \frac{OA}{sin(90 - \theta)} = \frac{AB}{sin \alpha} $$

③：
$$ \frac{OB}{sin(90 + \theta - \alpha)} = \frac{AB}{sin \alpha} $$

把OA和AB的值分别带进去②中，则：

$$ \frac{OA}{sin(90 - \theta)} = \frac{AB}{sin \alpha} $$

可以化成：

$$ \frac{v_0 t}{sin(90 - \theta)} = \frac{\frac{1}{2} g t^2}{sin \alpha} $$

可以解出 t ：

$$ t = \frac{ 2v_0 \cdot sin \alpha}{g cos \theta} $$

又因为$$ OA = v_0 t $$
所以$$ OA = \frac{ 2v_0^2 \cdot sin \alpha}{g cos \theta} $$

然后把这个 t 的表达式带入①的OA的中，可以得到 OB 的表达式：

$$ OB = \frac{ 2v_0^2 \cdot sin \alpha}{g cos \theta} \frac{sin(90+\theta - \alpha)}{sin(90 - \theta)} $$

整理一下：

$$ OB = \frac{ 2v_0^2 \cdot }{g cos \theta sin(90 - \theta)} \cdot sin(90+\theta - \alpha) \cdot sin \alpha $$

也就是说，位移OB的长度和角度 α 的关系已经整出来了！
积化和差背一下，谢谢！！
求导，下一位！！！！！！
然后稍微化一下：

$$sin(90+\theta - \alpha) = sin(90 - (\alpha - \theta)) = cos(\alpha - \theta) = cos(\theta - \alpha)$$

$$sin \alpha = cos(90 - \alpha)$$

所以可以写成这样：

$$ OB = K \cdot cos(90 - \alpha) \cdot cos(\theta - \alpha) = K \cdot cos( \alpha - 90) \cdot cos(\alpha - \theta)$$

其中 ，
$$K = \frac{ 2v_0^2 \cdot }{g cos \theta sin(90 - \theta)} $$
K 是和 α 无关的系数，
然后，这里可以采用通过对称性得到：
最值就是在

$$ \alpha = \frac{1}{2} (90 + \theta)$$

的时候取得的。（这里其实是显然的，如果不太理解可以再开个专题）
然后具体的结果就把这个待会进去正弦定理求解OB就可以了，就不算下去了。

3. 思路（希望能看一下这里）

1. 第二种方法怎么想出来的？
2. 为什么第一种叫做笛卡尔分解，第二种不垂直反而叫正交分解？
3. 这两种方法的区别是什么？
4. 有没有相关的题目或者延拓？
5. 第二种方法是否有普遍性的解题意义？
   6. 你高中老师为啥算了这么久？
   小问号，你是不是有一堆朋友？

1.有啥区别

注意一下，上面的第一种方法的分解其实是进行了两次分解：
1. 速度分解
2. 受力分解
只不过是因为这种方法是先建立直角坐标系，然后采用投影分解的方法，把速度和加速度分别投射到坐标轴上，这两次分解是在同一个坐标系下进行的，所以不容易察觉，实际上是二次分解，然后分别运用运动公式在两个方向上求解得到的。这种分解的依据和思路，则是几何空间上的“正交”
思路清晰，条理明确

而第二种方法，只是对位移这一个物理量进行了分解，他分解的方向不是垂直的，但是是“正交”的，这种“正交”，是因为一个方向是初速度的方向，一个是加速度的方向，这种正交，是“动力学”上的“正交”，因为初速度和受力，是两个独立无关的、影响他最终位移矢量的根本因素，他们是决定最终运动的正交基底中的两个
（严格来说不是正交，应该叫线性独立，因为未经过施密特正交化，这里听不懂算了，因为我表达能力不好，而且其实有涉及机器人学以及类似自然坐标系之类的，以及线性代数里面对正交的解析，所以暂时可以略过）

2.怎么解

思考一下，为什么得到正弦定理的三个式子之后，要先把OA和AB的值带入②中，而不是其他的呢？
我们的思考方式可以是这样：
$$ \frac{OA}{sin(90 - \theta)} = \frac{OB}{sin(90 + \theta - \alpha)} = \frac{AB}{sin \alpha} $$
得到这个表达式之后，先观察，哪一些项是含有未知变量的，哪一些是没有的。
注意！！！
α 是未知变量吗？
不是的，因为 α 是自变量。我们要得到的是什么？是用含有 α 的式子去表示出OB，要得到的是 OB 和 α 的函数关系式，这样才可以把问题变成是一个已知函数关系，求最大值的问题！
所以，如果你能理解高中的函数为什么要写成 y = f(x) 的话，你可以把 OB 看成是y， 把 α 当做是x，我们要得到的 y = f(x) ，其实就是要得到
$$ OB = f(\alpha)$$
你看我们最终算出来的：
$$ OB = \frac{ 2v_0^2 \cdot }{g cos \theta sin(90 - \theta)} \cdot sin(90+\theta - \alpha) \cdot sin \alpha $$是不是就是这样的形式啊。
OK，返回到$$ \frac{OA}{sin(90 - \theta)} = \frac{OB}{sin(90 + \theta - \alpha)} = \frac{AB}{sin \alpha} $$这里，哪一些项有未知变量？
OA有，AB有，为什么？因为他们的表达式里面含有时间 t ,
$$ AB = 0.5 g t^2$$
$$ OA = v_0 t $$
那既然这样的话，我是不是就考虑先把 这两个拿出来，想方设法去把 t 这个变量消去，或者说，用其他变量去表示 t，本质上就是参数方程消参的过程。
你得到 t 的表达式之后带进去得到
$$ OB = K \cdot sin(\alpha) \cdot cos(\theta - \alpha) $$

如果你这里知道听说过和差化积的话，也有兴趣的话，有一种不需要背的方式，可以比较快得到，有兴趣有时间可以私戳我蛤。

你以为我在做物理，其实我在解三角形

3.有没有其他题目

不妨试一下分解位移？

4.留到下一篇博客再写了

等速抛体问题，其实有一个等势面，有考虑过这个抛体运动的轨迹吗？请问这个轨迹抛物线的焦点和准线在哪里呢？这里其实还有外包络面，焦点圆，等势准面，双圆连锁问题，电磁场加持下的的圆锥变换曲线问题，这里很多东西可以用来出数学圆锥曲线大题，有机会下篇博客见。

4.我都写到这里了，您确定不留个评论就走了吗？